В теореме и рисе есть свои производные и составные

В теореме и рисе есть свои производные и составные
Все люди – не смотря на дискуссионность ответов на вопрос «в чем есть счастье и есть ли оно вообще?» - «в мире, где ветрам покоя нет, где бывает облачный рассвет», «посредине Земли, то в дожде, то в пыли», «ищут счастье». В том числе – и научные деятели.
Видимо, счастье как таковое – вещь сугубо индивидуальная.
Для кого-то и наличие риса на столе в хижине – уже счастье.
Ну, а ученых – оно несколько иное, и обретается не в рисе едином.
Рисовое счастье, добываемое фермером, и сугубо научное, роднит, быть может, лишь то, что счастье как таковое бывает трудным: к нему приходится пройти трудный путь.
В этом, быть может, инвариантность счастья как такового.
Ибо и ученые – пусть и особые, но все же только люди.
О тернистом пути теоремы Эмми Нётер, представленной на семинаре Геттингенского математического общества ровно 100 лет назад и ставшей «важнейшим инструментом в математической и теоретической физике», повествуют «Элементы».
Научное, сугубо математическое счастье иногда невозможно выразить словами – потому оно излито в чеканную формулу.
«В самой общей форме суть теоремы Нётер можно выразить буквально в двух словах. Изучая природу на фундаментальном уровне, ученые стремятся находить те характеристики физических систем, которые остаются неизменными в ходе процессов, в которых задействованы эти системы. Например, наша планета движется по своей орбите с переменной скоростью, однако воображаемый отрезок, соединяющий ее с Солнцем, за равные промежутки времени заметает равные площади (второй закон Кеплера). Полный электрический заряд изолированной макроскопической системы не изменяется, какие бы внутренние превращения она ни претерпевала; точно так же, абсолютным постоянством отличаются и заряды элементарных частиц. Из теоремы Нётер следует, что само существование подобных сохраняющихся свойств непосредственно связано с симметриями некоторой фундаментальной физической величины, которая определяет динамику системы. Выражаясь иначе, законы сохранения оказываются прямым следствием наличия тех или иных симметрий. Этот вывод стал самым универсальным инструментом выявления таких законов во множестве областей физики от ньютоновской механики до современной Стандартной модели элементарных частиц. Помимо этого, его можно назвать одним из наиболее красивых теоретических прозрений во всей истории науки.
Величина, о которой только что шла речь, называется действием. Ее конкретный вид зависит от системы, чье поведение она описывает. По форме это одномерный или многомерный интеграл от столь же фундаментального функционала — лагранжиана. В реальных физических процессах действие принимает экстремальное значение — чаще всего, достигает минимума. Это утверждение, не вполне точно называемое принципом наименьшего действия, позволяет с помощью методов вариационного исчисления записывать уравнения, описывающие динамику системы,- отмечают «Элементы» в своем рассказе о научных изысканиях Эмми Нётер.

Как разъясняется, «она работала с принципом наименьшего действия».
«Ее интересовали последствия математических операций, которые преобразуют математические объекты, участвующие в вычислении действия, однако оставляют неизменной его численную величину — или, в более общем случае, изменяют ее не слишком сильно (конечно, для этого «не слишком» есть точное математическое определение). Это означает, что подобные операции оставляют действие инвариантным. Инвариантность по отношению к определенному преобразованию или даже целому классу преобразований называется симметрией. Эмми Нётер в своей работе задалась вопросом, к каким последствиям приводит наличие у действия тех или иных симметрий.
Эту задачу она решала в очень общей форме, но с одним существенным ограничением. Преобразования симметрии могут быть как непрерывными, так и дискретными. Примеры первых — сдвиги вдоль координатных осей или повороты на произвольные углы. Дискретные преобразования, напротив, допускают лишь конечное или, максимум, счетное число изменений. Например, окружность остается неизменной при любых поворотах вокруг своего геометрического центра, а квадрат — только при поворотах, кратных 90 градусам. В первом случае мы имеем дело с непрерывной симметрией, во втором — с дискретной. И те, и другие симметрии описываются с помощью теории групп, но при этом применяются разные ее ветви. Дискретные преобразования, интересующие физику, используют теорию групп с конечным числом элементов. Для описания непрерывных симметрий используют бесконечные группы определенного типа, которые называются группами Ли в честь великого норвежского математика Софуса Ли. Эмми Нётер исследовала связь между законами сохранения и непрерывными симметриями, поэтому в своей работе она пользовалась теорией групп Ли. Стоит отметить, что дискретные симметрии тоже могут привести к тем или иным законам сохранения, однако в этом случае теорема Нётер непременима.
К началу второго десятилетия прошлого века теория групп Ли была хорошо разработана не только самим Ли, но и другими математиками, прежде всего немцем Вильгельмом Киллингом и французом Эли Картаном. Тогдашние физики практически не были с ней знакомы, но у Эмми Нётер, было время и желание изучить ее еще в Эргангене. Теперь же она ее применила — и с большим успехом.
Эмми Нётер рассмотрела преобразования симметрии, в которых работают группы Ли двух типов. В одном случае каждое преобразование (то есть, каждый элемент группы Ли) зависит от конечного (можно даже и счетного) количества численных параметров. Элементы групп Ли второго типа, напротив, зависят от того или иного числа произвольных функций. Например, плоские вращения определяются одним параметром (углом поворота), а пространственные — тремя (каждое из них можно представить как последовательность вращений вокруг трех координатных осей). Напротив, эйнштейновская ОТО основана на принципе полной ковариантности уравнений, то есть возможности записать их в любой четырехмерной системе координат (что физически означает возможность произвольно выбрать локальную систему отсчета в любой точке пространства-времени). Это тоже разновидность симметрии, причем именно той, которую Эмми Нётер отнесла ко второму типу.
Как следствие, теорема Нётер состоит из двух частей. Сначала она рассмотрела инвариантность действия относительно симметрий, которым отвечают групповые преобразования первого типа. Оказалось, что подобная инвариантность позволяет записать математические соотношения, которые можно интерпретировать как законы сохранения физических величин, удовлетворяющих этим симметриям. А если проще, то эти законы есть прямые следствя тех или иных симметрий.
Вот несколько примеров. Возьмем изолированную (то есть свободную от внешних воздействий) систему частиц, которые подчиняются ньютоновской механике и ньютоновской теории тяготения (в роли частиц могут выступать планеты, обращающиеся вокруг условно неподвижной звезды). Для такой системы действие инвариантно относительно сдвигов времени. Из теоремы Нётер следует, что полная (кинетическая и потенциальная) энергия частиц не зависит от времени, то есть сохраняется. Аналогично, инвариантность относительно произвольных сдвигов в пространстве означает сохранение полного импульса, а инвариантность относительно вращений — сохранение момента количества движения.
Конечно, эти законы были известны и раньше, но природа их оставалась загадочной, если угодно, таинственной. Теорема Нётер раз и навсегда сняла покров с этой тайны, связав законы сохранения с симметриями пространства и времени.
Аналогична и ситуация для систем, которые описываются релятивистской механикой. Здесь нет разделенных времени и пространства, на смену им пришел единый четырехмерный пространственно-временной континуум, известный как пространство Минковского. Максимальная симметрия такого пространства-времени дается десятипараметрической группой Ли, известной как группа Пуанкаре. У нее есть четырехпараметрическая подгруппа, которой отвечают сдвиги в пространстве Минковского. Инвариантность действия относительно этих сдвигов приводит к сохранению четырехмерного вектора, одна из компонент которого соответствует энергии, а три — импульсу. Отсюда следует, что в каждой инерциальной системе отсчета энергия и импульс сохраняются (хотя их численные величины в различных системах не одинаковы).
Все эти выводы были очевидны сразу после публикации теоремы Нётер. Вот еще один пример, который был осознан, когда была построена квантовая электродинамика. До сих пор речь шла о внешних симметриях, связанных не с самой физической системой, а с ее, если так можно выразиться, отношениями с временем и пространством. Однако теорема Нётер позволяет учесть и внутренние симметрии, иначе говоря, симметрии физических полей, «вписанных» в лагранжиан (для любителей точности — симметрии математических конструкций, представляющих эти поля). Эта возможность тоже ведет к открытию различных законов сохранения.
Возьмем лагранжиан свободного релятивистского электрона, который позволяет вывести знаменитое уравнение Дирака. Он не меняется при таком преобразовании волновой функции, которое сводится к ее умножению на комплексное число с единичным модулем. Физически это означает изменение фазы волновой функции на постоянную величину, не зависящую от пространственно-временных координат (такая симметрия называется глобальной). Геометрически это преобразование эквивалентно плоскому повороту на произвольный, но фиксированный угол. Следовательно, оно описывается однопараметрической группой Ли — так называемой группой U(1). В силу исторической традиции, восходящей к великому математику и ученику Гильберта Герману Вейлю, ее относят к большой группе симметрий, именуемых калибровочными. Из теоремы Нётер следует, что глобальная калибровочная симметрия этого типа влечет за собой сохранение электрического заряда. Не слабый результат, и уж отнюдь не тривиальный!
Вторая теорема не столь прозрачна. Она описывает ситуации, когда преобразования симметрии, оставляющие действие инвариантным, зависят не от численных параметров, а от каких-то произвольных функций. Оказалось, что в общем случае такая инвариантность не дает возможности формулировать законы сохранения физически измеримых величин. В частности, из второй теоремы Нётер следует, что в общей теории относительности не существует универсальных законов сохранения энергии, импульса и момента импульса, которые имели бы однозначный смысл в физически реальных (то есть не бесконечно малых) областях пространства-времени. Правда, есть частные случаи, когда в рамках ОТО можно корректно поставить вопрос о сохранении энергии. Однако в целом решение этой задачи зависит от того, что именно считать энергией поля тяготения и в каком смысле говорить о ее сохранении. Более того, не сохраняется и полная энергия частиц, которые движутся в пространстве с динамическим полем тяготения (другими словами, в пространстве с изменяющейся метрикой). Так, в нашей расширяющейся Вселенной фотоны реликтового излучения непрерывно теряют энергию — это всем известный феномен космологического красного смещения,- подчеркивают «Элементы».
Как водится, ее великая теорема осталась практически незамеченной, ситуация начала кардинально изменяться лишь в середине ХХ века, когда в умах ученых забрезжили наметки построенной-таки в 70-е годы прошлого века так называемой Стандартной модели элементарных частиц (наиболее серьезного достижения теоретической физики второй половины ХХ века, как отмечают «Элементы»).
Но к этому времени Эмми Нётер уже не было в живых: 14 апреля 1935 года она умерла в Америке, куда эмигрировала после прихода к власти фашистов в Германии в 1933 году, в результате «осложнений после хирургической операции».
Теперь работа Эмми Нётер является уже «высокой классикой науки». Такая вот эволюция у ее теоремы.
Полностью под стать судьбе ее научного открытия и человеческая судьба Эмми Нётер.
Под конец жизни Нётер она удивительным образом прошла по касательной – через судьбу величайшего предателя и провокатора русского революционного движения, «сдавшего», как констатируют «Элементы», «охранке Веру Фигнер и других членов «Народной воли»», Сергея Дегаева. Дело в том, что сразу же после эмиграции Эмми Нётер в Америку первым местом ее работы на новом месте стал элитный женский колледж Брин-Мар в штате Пенсильвания, куда ее пригласила «декан математического факультета Анна Пелл Уилер (Anna Johnson Pell Wheeler)», супругой американского профессора математики Александра Пелла. Тем Пеллом был - Сергей Дегаев, который после вынужденной эмиграции из России в Америку переименовался в Александра Пелла: после выдачи Веры Фигнер, чтобы избежать смерти от руки народовольцев, «он помог им в убийстве своего куратора — жандармского подполковника Георгия Порфирьевича Судейкина». «Оставшиеся на свободе народовольцы позволили Дегаеву уехать в Америку, где он и стал Пеллом. В Штатах он после многих злоключений получил математическое образование, закончил аспирантуру в Университете Джонса Хопкинса в Балтиморе и в конце концов получил кафедру в Южной Дакоте. Так что демону истории для устройства Эмми Нётер в США было нужно, чтобы злой гений «Народной воли» превратился в почтенного американского профессора, который заметил и продвинул одаренную студентку из глубокой провинции (речь об Анне Пелл Уилер),- отмечают «Элементы».
Ну, а вот не математикам и не физикам, а просто жителям Юго-Восточной Азии вполне определенно счастливой жизнь представляется, коли они собрали хороший урожай риса. Но не простого, а так называемого «глубоководного». Потому что в тех юго-восточных азиатских краях из-за постоянных наводнений хороший урожай просто риса попросту не соберешь – из-за наводнений можно собрать урожай только глубоководного риса. Этот самый глубоководный рис, «оказавшись надолго под водой», «начинает расти вверх, тогда как обычный остается невысоким и погибает».
Это «счастье» юго-восточным азиатским фермерам приходится взращивать не то чтобы в грязи пыли, но буквально по горло погружаясь в воду, потому что глубоководный рис – в отличие от обычного – высок, и достигает в высоту более метра.
Его секрет обнаружили ученые университета Тохоку – он оказался в наличии у глубоководного риса гена, именуемого в научной классификации SD1: он управляет «синтезом гормонов гиббереллинов, от которых зависит рост». Об этом в своем пересказе опубликованных в Science результатов исследований университетских ученых повествует «Наука и жизнь». «Но активность самого SD1 зависит от этилена, который у растений тоже играет роль гормона. В рисе, оказавшемся под водой, накапливается много этилена, который включает SD1, а SD1 запускает синтез гиббереллинов, и особенно гиббереллина GA4, стимулирующего именно вертикальный рост,- разъясняет «Наука и жизнь».
Такое вот «глубоководное» рисовое «счастье» есть у жителей Юго-Восточной Азии, и такая у того глубоководного рисового счастья эволюция.